第四讲 配对求和
(简单整数数列的计算)
知识要点: 配对技巧 项数的确定
小朋友们,你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯的故事吗?他从小就聪颖过人,还在他8岁的时候,老师给班上同学出了一道题:1+2+3+4+……+99+100=?8岁的高斯很快报出了得数:5050。这个答案完全正确!最让老师吃惊的是,小高斯计算的速度如此快捷!那么,小高斯是用什么办法算得这么快的呢?原来,根据所给算式的特点,他用了一种巧妙的方法——配对求和。采用这种方法,很多整数数列求和的问题都能迎刃而解了。
典型例题
例【1】 计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
分析1 在这个算式中,共有10个数,将和为11的两个数一一配对,可配成5对。
解法一 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)
=11×5
=55
分析2 将和为10的两个数一一配对,可配成4对,另加一个10,一个5。
解法二 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5+10
=10×4+5+10
=55
例【2】 计算:11+12+13+14+15+16+17+18+19
分析 将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对,再加15。
解 11+12+13+14+15+16+17+18+19
=(11+19)+(12+18)+(13+17)+(14+16)+15
=30×4+15
=135
例【3】 计算:101+102+103+104+105+106+107+108+109+110
分析 此题中每个数里都包含了一个100,可以把这10个100分离出来,转化为例【1】
解 101+102+103+104+105+106+107+108+109+110
=100×10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
=1000+11×5
=1055
例【4】 计算500-(11+13+15+17+19+21+23+25+27+29)
分析 先用配对的方法计算11+13+15+17+19+21+23+25+27+29
11+13+15+17+19+21+23+25+27+29
=(11+29)+(13+27)+(15+25)+(17+23)+(19+21)
=40×5
=200
解 500-(11+13+15+17+19+21+23+25+27+29)
=500-200
=300
例【5】 有一垛电线杆叠堆在一起,一共有20层。第1层有12根,第2层有13根……下面每层比上层多一根(如下图)。这一垛电线杆共有多少根?
分析 因为这堆电线杆从第2层起,每层比上面一层多一根,共有20层,所以,这垛电线杆的总数为:
12+13+14+……+29+30+31
=(12+31)×20÷2
=43×20÷2
=430
(注:20÷2表示一共配成的对数,即和数为43的有20÷2对)
小结 用配对方法求和,实质上是变加法(连加)为乘法。要正确、合理地运用这种方法,首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的配对。有时,一串数的个数不是双数,就不能刚好配对,还留下一个数,要弄清这个数是几;有时,一串数虽然个数是双数,但为了计算简便,往往把其中两个或者几个数放在一旁,将其余数配对,使每对中两数的和恰好是整十或整百数。